Sistemas de Ecuaciones Lineales

http://www.monografias.com/trabajos24/ecuaciones-lineales/ecuaciones-lineales.shtml

DEFINICIONES

1. Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
   a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
   Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, son constantes reales.
2. ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL 
   Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
   a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
   a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
   ...
   a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
   Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.
   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
   (3)
   Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
   A X = C (4)
   en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).
   Entonces la matriz ampliada será:
   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
3. SISTEMA DE ECUACIONES
4. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.

Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.

2. TEOREMAS SOBRE RANGOS

El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).

En álgebra se demuestra que:

1. Para cualquier sistema, (*)
2. Si r(A) < r(A, C) el sistema es inconsistente
3. Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente

En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.

En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.

Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.

Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra manera, un método indirecto tiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.

Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución" carezca de sentido. A pesar de su error teórico por truncamiento, un método indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo no se acumulan.

2. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss.

Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.

El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra en (2), a un sistema triangular equivalente como:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(6)

en el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:

1. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
   (7)
2. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:
   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
   (8)
3. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de manera que el conjunto adopta la forma:
4. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).
   Esta reducción nos conduce a:
   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
   (9)A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento, utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ec. (6).
5. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) se convierte en la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote.
6. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y asi sucesivamente. Este es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos previamente.

Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

X1 + 6 X2 - X3 = 13 (10)

2 X1 - X2 + 2 X3 = 5

Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

2 X2 - 2 X3 = 6 (11)

9 X2 + (0) X3 = -9

A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

2 X2 - 2 X3 = 6 (12)

- 9 X3 = 18

Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecs. (12) se obtienen los siguientes valores:

X3 = -2

X2 = 1

X1 = 5

1. Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
   El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones
   3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500
   0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3
   0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
   Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.
   Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.
   Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.
   2. INVERSIÓN DE MATRICES
   Para ver el item completo seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   EJEMPLO
   Invertir la matriz
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Por lo tanto, la inversa es:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:
   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior
   donde C es el vector de términos independientes.
   Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.
2. MÉTODO DE GAUSS - JORDAN 
3. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.

Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación.

Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.

Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

2. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
3. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
4. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.
5. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficniente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
6. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto (*)seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.

Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del (*)seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un (*)dado.

(*) Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

EJEMPLO

Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un (*)= 0.001.

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

SOLUCIÓN:

Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30

0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Como podemos observar, no se cumple la condición

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Comparando de nuevo los valores obtenidos

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Como se observa todavía no se cumple la condición

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Así que hacemos otra iteración

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Comparando los valores obtenidos

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

X1 = 3.0

X2 = -2.5

X3 = 7.0

Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.

a) ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN Consideramos la ecuación

y supongamos que 

Podemos resolver directamente esta ecuación:

Será .....................De la misma forma, tendremos

 , . . . .

Vemos que la solución general es

Llamamos a esta sucesión progresión geométrica de valor inicial C y razón A.

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN

• Partimos de la ecuación de recurrencia

y buscamos soluciones que sean progresiones geométricas:

Suponemos y sustituimos

• Podemos simplificar esta ecuación en la forma

de donde, si , deducimos 

Llamamos a esta ultima ecuación la ecuación característica de la recurrencia.

Tenemos ahora tres casos:

1. Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas

Sean las raíces.

 son, para valores arbitrarios de las constantes Ci, soluciones de la ecuación de recurrencia (1). Comprobarlo sustituyendo.

• La suma de las dos soluciones anteriores también es una solución. Lo comprobamos sustituyendo.

• Hemos obtenido una solución que depende de dos constantes arbitrarias.

Todas las soluciones están comprendidas en la fórmula:

Demostración:

Si suponemos dados los valores iniciales, a0 y a1, de la solución, el resto de la sucesión queda unívocamente determinado, por recurrencia y por ser la ecuación de orden 2, por estos dos valores (igual que en el caso de Fibonacci).

Sustituyendo n = 0, 1 en (2) obtenemos

Como suponemos que a0, a1, r1 y r2 son conocidos, vemos que (3) es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Su determinante es y, por tanto, el sistema tiene solución única.

Hemos visto, entonces, que toda solución de (1) puede ser dada como caso particular de (2) para una elección adecuada, la dada por la solución de (3), de las constantes C1 y C2.

2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales Llamemos r0 a la única raíz de la ecuación característica.

La discusión es en este caso similar a la anterior, salvo que debemos usar

Las comprobaciones necesarias para ver que, en este caso también, todo funciona bien son tan parecidas que las omitimos.

3. Las raíces de la ecuación característica son números complejos conjugados

Supongamos que las raíces son:

Podemos tratar este caso en la misma forma que el primero, de forma que obtenemos que la solución es

Esta solución es satisfactoria, salvo si observamos que la solución está expresada en términos de funciones de variable compleja.

Si escribimos las raíces en forma polar, , donde podemos tomar como definición ei_ :

  podemos reescribir la solución como

con . De esta forma la solución es combinación lineal de dos funciones de variable real y son los coeficientes los que son números complejos.

Ejemplo:

Volvemos a la ecuación de Fibonacci 

Su ecuación característica es , con raíces y

 . Son raíces reales distintas.

La solución general es

Sustituyendo n = 0, 1 en esta expresión podemos obtener los valores de las constantes que corresponden a valores iniciales dados. Por ejemplo, para

F0 = 0 y F1 = 1 se obtiene .

¿Que valor tiene, aproximadamente, Fn para n grande?

Como 0 < r2 < 1, para n muy grande el segundo sumando de la expresión exacta obtenida para Fn tiende a cero (i.e. se puede hacer tan pequeño como queramos). Entonces, para n muy grande, se obtiene

.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE ORDEN ARBITRARIO

Consideramos la ecuación de recurrencia de orden k

con ecuación característica, obtenida en la misma forma que para k - 2,

Supongamos, para simplificar que la ecuación característica tiene k raíces reales, r1, r2, . . . , rk, distintas o no. Podemos entonces escribir la ecuación característica en la forma 

Teorema La solución general de la ecuación de recurrencia (8) es una combinación lineal de términos de la forma:

con ni - 1 términos por cada raíz ri.

3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS

La resolución de ecuaciones no homogéneas es, en general, bastante más difícil que para el caso homogéneo.

Empezamos con un resultado general, y, luego, veremos un método que, en

ocasiones, funciona.

Suponemos una ecuación no homogénea

y llamamos ecuación homogénea asociada a

Supongamos que conocemos una solución, ,de la ecuación no homogénea

(9), a la que llamamos solución particular.

Teorema Toda solución de (9) se puede escribir como suma de la solución particular y una solución cualquiera de la ecuación homogénea asociada (10).

Demostración:

1. Representemos por an una solución cualquiera de la ecuación (10). Si sustituimos en (9) vemos que se satisface la ecuación.

2. Recíprocamente, supongamos que es otra solución de (9). Restando y

sustituyendo en (10) vemos que es solución.

Entonces, para resolver una ecuación, lineal, no homogénea basta encontrar

una solución particular y resolver completamente la ecuación homogénea asociada.

Describo ahora, usando un ejemplo como ilustración, un método para encontrar soluciones particulares.

Supongamos que la ecuación a resolver es

1. Escribir la ecuación característica de la ecuación homogénea asociada

y resolverla. Denotamos por p(r) el polinomio obtenido.

En nuestro ejemplo, la ecuación característica tiene raíces r = -3 y r = 2.

2. Encontrar la ecuación de recurrencia, homogénea con coeficientes constantes, más simple de la cual g(n) es solución.

Puede ser que g(n) no sea solución de ninguna ecuación de recurrencia lineal, homogénea y con coeficientes constantes.

Si es solución de una tal ecuación, continuamos el procedimiento encontrando su ecuación característica y resolviéndola. Denotamos por q(r) el polinomio hallado.

En nuestro ejemplo, g(n) = 2n - 1, y una ecuación de la que g(n) es solución tiene como raíces 2 y 1.

El polinomio característico es (r-2)(r- 1) = r2 - 3r + 2 =: q(r).

De aquí podemos obtener fácilmente la ecuación de recurrencia, pero, realmente, no hace falta.

3. Consideramos el polinomio P(r) := p(r)q(r), y escribimos la solución general de una ecuación homogénea con ecuación característica P(r) = 0.

En el ejemplo, será:

P(r) : = p(r)q(r) = (r + 3) (r - 2)2 (r - 1)

y la solución asociada es:

H(n) : = A(-3)n + B2n + Cn2n + D.

4. Los dos primeros sumandos de H(n) son la solución general de la ecuación homogénea asociada. Podemos ver que el resto es, para valores particulares de las constantes, la solución particular buscada.

En nuestro caso, la solución particular sería

para valores de C y D que hay que calcular.

Sustituimos esta sucesión en (11), y operando, llegamos a la ecuación

con solución D = 1/4 y C = 2/5.

Hemos comprobado así, que para estos valores de C y D, se obtiene una

solución particular de la ecuación no homogénea.

Ejercicio:

Usar el método anterior para hallar, para k = 2, 3, . . . , el valor de sumas del

tipo:

.

Indicación:

Tenemos

que es una ecuación de recurrencia lineal, de orden uno y no homogénea.